ВЕКТОРНЫЕ  ПРОСТРАНСТВА

На современном математическом языке пространство, названное здесь условно плоскопараллельным или плоскообъёмным, называется евклидовым пространством. В такое пространство можно ввести векторы  с линейными законами их сложения по правилу параллелограмма и умножения, как на обыкновенное число, так и специальные, называемые скалярными и векторными. По этой причине оно ещё называется линейным векторным пространством. Если точку пространства соединить с началом координат отрезком в виде стрелы обращённой остриём к точке, то это будет радиус-вектор, имеющий те же самые координаты что и точка, так как его начало совпадает с началом системы координат. Если таким же отрезком в виде стрелы соединить любые две точки пространства, то это будет просто вектор. Координатами этого вектора будет разность координат конца и начала стрелы. Таким образом, векторы также как и точки пространства имеют координаты, т.е. каждому вектору ставится в соответствие тройка чисел. В отличие от точек векторы имеют направления. Направление вектора определяется двумя точками, одна из которых называется началом вектора, а другая концом. Следовательно, векторы определяют отношение двух точек – одна из них является началом, а другая концом и поэтому являются наилучшим средством для обозначения движения тел.  Кроме того, вектор характеризует удалённость этих точек друг от друга. Чем дальше точки  находятся друг от друга, тем длиннее вектор. Расстояние между ними равно модулю вектора, который по теореме Пифагора равен корню квадратному из суммы квадратов координат вектора.

Считается, однако, что само по себе плоскопараллельное пространство однородно, т.е. в нём самом отсутствуют особые точки и векторы, указывающие на них. При любом переносе системы как целого в плоскопараллельном пространстве её  свойства не изменяются. Эта его особенность возникает благодаря тому, что все частицы и тела, обладающие массой, вычленяются из него, и считается, что они двигаются в нём в подвешенном состоянии как в пустом ящике, как во вместилище тел.  Движение же самого вычлененного тела из одной точки плоскопараллельного пространства в другую  обозначают вектором, называемым перемещением. Последовательность перемещений образует линию траектории движения тела. Скорость движения тела, ускорение и сила воздействия одного тела на другое тело также обозначают векторами, длина которых пропорциональна значению величины. В общем, вектор даёт возможность охарактеризовать все величины обладающие направлением воздействия. Векторные величины можно представить в виде суммы нескольких векторов или иначе говорят разложить на   векторы. Например, воображаемый вектор, совпадающий с направлением движения и длиной пропорциональной скорости можно разложить в декартовой системе координат на векторы, совпадающие с осями координат.

            С введением векторов несколько изменился смысл системы координат. Её координатные оси стали выражать через единичные векторы: i, j, k  или е₁, е₂, е₃. Таким образом, каждой точке на координатных осях стал соответствовать радиус-вектор: а₁е₁ на одной оси, а₂е₂  на второй оси и а₃е₃ на третьей оси. Тогда произвольной точке плоскопараллельного пространства стал соответствовать радиус-вектор, выражающийся через единичные векторы в виде алгебраической суммы: а=а₁е₁+ а₂е₂+ а₃е₃, а произвольный вектор стал выражаться через единичные векторы и разности соответствующих координат следующим образом: с=(а₁-в₁)е₁+(а₂-в₂)е₂+(а₃-в₃)е₃.

Векторное пространство – это, тем не менее, нечто другое, чем просто физическое пространство, поскольку в нём самом отсутствуют векторы как таковые. Хотя его и накладывают на физический мир, представленный в виде плоскопараллельного пространства, но оно есть плод нашего воображения, абстракт внешнего мира. Если мы рассматриваем векторы перемещений, то это одно векторное пространство. Если же рассматривать векторы скоростей движения, то это другое векторное пространство. Векторы сил образуют третье пространство, векторы ускорений движения тел – четвёртое пространство и т.д. Все эти пространства накладываются на евклидово пространство, а формулы физики преобразуют одно векторное пространство в другое.

Для некоторых величин, чтобы охарактеризовать их направленность и величину в плоскопараллельном пространстве пришлось вводить специальные векторы, называемые псевдовекторами. Нельзя, например, показать вращение тела вектором скорости движения тела по орбите, поскольку   этот вектор   постоянно меняет направление, поэтому его характеризуют вектором, направленным вдоль оси вращения по правилу буравчика, т.е. если глядеть в сторону, указываемую вектором, то направление вращения ручки буравчика должно быть по часовой стрелке.

         Так как каждому вектору ставится в соответствие числа называемые координатами, то в математике векторами стали называть любые сочетания чисел, над которыми заданы те же действия, что можно производить над координатами обычных векторов.  Оказалось,  что формально можно задать сочетание чисел из любого количества, даже из бесконечного числа. В то время как в Евклидовом пространстве можно задать вектор самое большее из трёх чисел, т.е. оно трёхмерно. Возникает вопрос: - не зависит ли размерность пространства от наших органов зрения, движения и структуры мозга?

                     В течение всей своей истории человек вынужден переходить от кажущихся картин  мира путем научных рассуждений, к  моделям более точно отражающих его. Возможно, что плоскопараллельное представление о мире и вместе с ним математические пространства тоже есть кажущаяся картина мира, от которой необходимо перейти к более точной модели. Но к какой?

 

                                                                                  (См. далее Время)